小学六年级数学虽然教了圆锥体体积公式，但是一直在闪躲回避公式的数学证明。

小学数学教材存在的一个问题

课本截图

在小学六年级数学课本里，教材编写者一直都是通过倒水或者倒沙子的方法给孩子们讲解圆锥和圆柱体积的关系。这样的教学方法，除了让孩子们记住“圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”这样一个结论之外，没法教给孩子们任何其他有用的数学知识和思维方式。而且，这样的实验方法不精确，真要做实验的话，推荐伽利略的小秤(实验精度远超排水法的力矩法)。相关链接：【伽利略和伽利略小秤 – 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eALYx7P/

当然，很多数学专家也许不会认同，觉得这个年纪的孩子只需要感性地知道是这样子就可以了，探究原理是以后的事情。可能教材编写者就是这样想的。问题是，不用排水法就没法简明扼要，通俗易懂地说清楚这个问题吗？我认为不是这样的。

排水法虽然可能会给古代数学家提示等底等高的圆锥，球体和圆柱之间的体积关系是1:2:3，但是这个方法不能替代严格的数学证明。

这样的教学方法教的都不是数学，偏离了数学的本质。真正的数学既不是为了让孩子们背诵数学公式，也不是为了一个答案，而是要学会如何思考问题和解释问题，学会思辨和逻辑推理。数学课的意义在于从小培养孩子们的思维能力和思维方式。但很可惜，我们的数学教育之路严重偏离了教育的本质。说得更加极端一点也许就是，我们的数学课上根本就没有数学！

我不想指责小学数学老师。他们按课本和教学大纲的要求照本宣科无可非议。我要说的是，其实，学习数学公式背后的思想起源和思维方式，远远比背一个公式精彩百倍。这里，我以“如何理解圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”为切入点，和读者朋友们交流一下为什么学习数学思维比背公式更加重要这个问题。

在数学问题中，最精彩的证明莫过于不需要证明，把复杂的问题转变不断简化和一般化，我们就能看到数学之美。那么，接下来就请读者朋友们跟着我的思路去探究一下圆锥体积计算公式背后的数学原理和思想。

化繁为简的数学思想：转化

要直接得到圆锥体体积公式有点难，我们如何起步呢？可以用类比的方法来简化这个问题，降低问题的难度。我们先看和圆锥体有关联的金字塔形（数学上叫做直立正方棱锥体）的体积，看看它与等底等高的长方体是什么关系。

金字塔

长方体容金字塔

金字塔有5个面，计算它的表面积比体积简单多了。请看它的平面展开图，表面积等于底面正方形面积和四个全等三角形面积之和。金字塔顶点的投影是底面正方形的中心。

金字塔展开图

金字塔与等底等高的长方体是什么关系呢？先别急着回答，考虑一下这个问题的难度还能不能再降低？

可以继续简化问题。等底等高的三棱柱和三棱锥体积之间有什么数量关系呢？

三棱柱体积很好计算，底面积是一个三角形面积，乘以高就得到体积了。三棱锥呢？请看下图：

切分三棱柱

一块三棱柱蛋糕可以用刀如图切成三个全等的三棱锥，于是得到下面的结论：

三棱锥的体积是同底同高的棱柱体积的1/3。

而且还可以此类推，金字塔的体积是同底同高的长方体体积的1/3。还可以继续以此类推，底面是正多边形的正棱锥体积是同底同高的正多边形柱体体积的1/3。

为什么呢？因为正多边形可以分为几个全等三角形啊。

再继续推理，得到结论：

圆锥的体积等于同底同高的圆柱体积的1/3。

这又是什么道理呢？

有两种解释，先说第一种。

我们知道。圆锥和同底同高的圆柱体积之间有数量关系。我们暂时还不知道这个体积比是多少，就假设他们之间的比例为k。

圆锥体体积：圆柱体体积=kπr2h：πr2h=k

六年级小学生知道比和比例，也会化简比。所以把这个比化简为：

圆锥体体积：圆柱体体积=kr2h：r2h=k

小学生都能看懂。相当于一个分数，分子和分母都同时乘以π的倒数，就消去π了。

我们知道，与圆有关的公式有π，把π消去再一看，这不是变成底面是正方形的长方体体积公式了吗？

而前面我们已经论述了三棱锥的体积是同底同高的棱柱体积的1/3，所以现在我们知道k=1/3。

于是得到了圆锥体体积公式：

V=1/3 πr2h

现在我们用第二种方法来解释以此类推的数学原理。

伟大的原理：祖暅原理

这要从祖暅原理或者是卡瓦列里原理说起。

祖暅原理，又名等幂等积定理，内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅[gèng]（456年—536年），一作祖暅之，字景烁，范阳遒县（今河北涞水）人。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球体积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。

小学数学课堂如何讲解祖暅原理？最简单的方法是用若干本一模一样的书摞在一起，形象化演示。

祖暅原理告诉我们：等底同高的棱锥体积相等。祖暅原理只要求平行截面的面积相等，不要求这些截面的形状相同。所以，根据祖暅原理，同底同高的圆锥体和金字塔体积相等，从前面的论述知道，同底同高的圆锥体与圆柱体体积之比为1:3。

还有没有别的方法证明圆锥体体积公式呢？请看相关链接：【怎样计算直角三角形重心到直角边的距离？ – 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFR1a3/

这个链接告诉我们，怎样用帕波斯定理计算旋转体体积，推导出旋转体体积公式。虽然有一定的难度，但是这才是学习数学的正确姿势之一。

祖暅原理威力巨大，掌握了它，解决球体体积也不是难事。

思维拓展：球体体积公式的推导

现在，我们可以走得更远，推导出球体体积公式。按照一贯的转化的数学思想，我们考虑一下怎么降低问题的难度。球体不好算，就先考虑半球是什么情况。请看下图：

半球对比等底同高圆柱体

如图所示，在相同的高度平行底面得到的截面积如何计算呢？

左右两边的截面都是圆，但是面积不同。半球的截面积需要计算图中的x，需要使用勾股定理。

根据勾股定理，x2=r2－h2，于是得到截面面积=π(r2－h2)

右边的圆柱体的截面面积等于底面积，在圆柱体中构造一个倒放的等底同高的圆锥体，观察上图，我们发现：

同高度的圆锥体，球体和圆柱体的截面分别是小圆，中圆和大圆。而且，大圆－小圆=圆环=中圆

现在我们来证明。

圆锥体的截面一个方向是圆，垂直于这个方向的截面是等腰三角形。这个等腰三角形底边=d=2r，高=h=r，底边上的高把这个等腰三角形分为两个全等的等腰直角三角形，直角边=r。因为平行于三角形底边的直线截的小三角形与原来的三角形是相似三角形，所以小圆的半径r=高h。

圆环的面积=大圆－小圆。恰好等于：

πr2－πh2=π(r2－h2)

于是证明了圆环面积=球体截面面积=中圆面积。而圆环面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积。我们知道，相似三角形对应线段成比例，所以不论截面高度如何变化，球体截面面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积的数量关系不变。

根据祖暅原理，当然有球体体积=圆柱体积－圆锥体体积。

前面论述了圆锥体积：圆柱体体积=1：3，由此可见，圆锥体积：球体体积：圆柱体体积=1：2：3

一个半球的体积=2个圆锥体体积，所以球体体积=4个圆锥体体积，所以推导出球体体积公式：

V=4/3 πr3

总结一下：请看下图

排水法的启示

阿基米德说：任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积，高为球体半径的圆锥体体积的4倍。

写成公式就是：

V=4/3 πr3=π/6D3

注意，D代表直径。

阿基米德的墓碑

拓展一下：

阿基米德说：在圆柱容球模型中，圆柱体的表面积和体积都等于球体的一倍半。

也就是说，圆柱体体积：球体体积=3：2；圆柱体表面积：球体表面积=3：2。

圆柱体的表面积很好计算：两个底面积为2πr2，圆柱体的侧面积是4πr2，合计6πr2。而球体的表面积恰好等于圆柱体的侧面积。阿基米德说，任一球体的表面积等于其最大圆之面积的4倍。6：4化简后就是3：2，就是阿基米德说的一倍半。

推导过程需要使用勾股定理，勾股定理的证明推荐几个链接：【用蛋糕的稀奇切法证明勾股定理 – 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFFm1K/

【从风车到欧几里得定理 – 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFLNCf/

【如何优雅地证明勾股定理？ – 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFJc95/

结束语：面对一个有趣的数学问题，探索过程比最后得到的答案更重要，更有意义。培养解决数学问题的思维能力比背公式重要的多。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。